Notes on Mathai -Quillen’s Thom form

0. introduction, notation and background

在Mathai和Quillen于1985年发表的论文,’Superconnections, Thom classes, and equivariant differential forms’中,作者们构造了Gaussian Thom form. 但是在构造的过程中,需要向量丛\pi :E \to M上有一个spin structure (i.e w_2(E)=0). 构造的思想,也使用了Principal G-bunlde上的Weil algebra W(\mathfrak{g})与主丛示性类. 在后人的工作下,对一般的向量丛E,也可以通过Berezin积分的方式构造出同样的Thom form. 这篇Blog就想来讲讲这样的Thom form的构造,以及如何利用她来证明Gauss-Bonnet-Chern theorem.

Let \pi :E \to M be a vector bundle whose rank=k. Thom shows that \pi _*: H^{*}(E) \to H^{*-k}(M), where \pi _* is ‘integral along fiber E/M‘, is an isomorphim. The inverse of this map is just pulling back by \pi ^* and then wedge the Thom class. A related k-form, which is so-called Thom form \Phi , is clearly having the following properties:

(1) \Phi \in \Gamma ^k (E) is closed and,

(2) \phi _* \Phi =1 .

To constuct a Thom form, we assume that the vector bundle E is oriented, equipped with a Riemannian metric, and a related Riemannian connection \Delta ^E.

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A simple way to prove the converse of Poincare-Hopf theorem.

上次讲的方法太麻烦了,突然发现用Morse theory有一个非常简单而直接的构造.

考虑黎曼流形(M,g)上的一个Morse函数f:M \to \mathbb{R},i.e.对每个f在M上的critical point,D^2 f = [\frac{\partial f^i}{\partial x^j}]是非退化的矩阵.

那么由Morse lemma,存在f在临界点a处的坐标邻域U,使得f在U上有典则的局部表示f(x^1,\cdots , x^n)=f(a)-(x^1)^2- \cdots -(x^p)^2 + (x^{p+1})^2 + \cdots +(x^n)^2. 我们定义f在a点的指标为p.

Morse theory告诉我们,对于一个Morse函数f,设指标为p的critical point有v_p个(假设M是紧致无边的,那么临界点显然有限),那么M恰好可以拓扑同胚于成v_p个p-cell拼接起来的cell complex.

那么由代数拓扑中的结论,我们知道\chi(M)= \sum_{k} (-1)^k v_k,于是我们只需要构造一个向量场X,使得X的奇点恰好就是f的临界点,并且在每个指标为p的临界点处,X的index恰为(-1)^p即可.

于是我们取f的梯度向量场grad(f),即唯一的向量场满足对任意M上的向量场Y,有<grad(f),Y>=Y(f). 这涉及到M的度量g,并不方便我们直接计算定向环绕数。但是我们发现f在a点的指标为p,等价于D^2 f(a)恰有p个负的eigenvalue,而eigenvalue的正负性是invariant under change of Riemannian metric的,所以我们不妨考虑平凡的欧氏度量.

现在f局部上已经写成了f(x^1,\cdots , x^n)=f(a)-(x^1)^2- \cdots -(x^p)^2 +(x^{p+1})^2 + \cdots +(x^n)^2的形式,所以grad(f)是\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n的线性映射,但是我们知道对线性映射,W(A | S_{\epsilon},0) = sgn( Det A),于是grad(f)的在p指标处的index恰为(-1)^p.

Q.E.D

上次所说的证明方法当然也是可行的,那个思路是Follow经典的微分拓扑教材Differential Topology,Guillemin and Pollack. 而这次的是Milor的Morse Theory上,恰好有大佬问到才看到的orz. 看来还是要日益精进呀2333

开学后比较忙就不定期更新了,那么暂且搁笔0v 0

Poincare-Hopf Theorem and it’s Converse

0.Introduction

辣鸡寒假只剩下三个礼拜了,自己却什么都还没怎么学,真是悲伤啊QuQ!最近疯狂在补交换代数,又什么都看不懂orz…只好翻出一些,放假前就比较熟的东西,来给大家写一写了0v 0

Poincare-Hopf定理,在上一篇Gauss-Bonnet公式的证明中用到过,其本身在(微分)拓扑中也有非常多的应用. 例如和Lefschetz fixed-point theorem之间的关系,抛开Poincare对偶来证明偶数维紧致可定向流形M的欧拉示性数\chi (M)=0,再比如证明Hopf degree theorem……

去年丘赛几何的第一题,就是这一定理的逆命题,即

对一个紧致、连通的可定向流形M,其欧拉示性数\chi (M)=0,则在M上存在一个向量场X,使得X没有奇点.

由Poincare-Hopf Theorem我们知道,对任意一个其上的向量场X,有\sum _{p \in X^{-1}(0)} Ind_p (X)= \chi(X)=0. 所以对这些奇点,我们应该想办法把正指标的和负指标“配对调整”,使得每个奇点的指标都是0. 以下我们分四个部分来完成这一手续:

(1°)最简单的情况:对一个欧式空间\mathbb{R}^n中的向量场X,如果X仅有有限个奇点,并且其指标和为0. 那么存在一个没有奇点的向量场X_0,并且X_0X在一个紧集外取值相同,

(2°)对紧致连通可定向流形M,证明其上存在一个仅有有限个奇点的向量场,

(3°)对紧致连通可定向流形M,那么存在一个向量场X,在M上的坐标邻域U上集中了所有X的奇点,并且个数是有限的,

(4°)使U平凡化,利用(1°)来完成命题的证明.

下面先对Poincare-Hopf Theorem的定理证明进行一些回忆,列出一些定理证明过程中用到的一些定义、Lemma,并且讲一讲Hopf degree theorem(在1°的过程中需要用到),最后来完成定理的证明.

下面我们开始正题!

标架丛、球丛和Gauss-Bonnet定理

0.Introduction

一到假期又闲下来了,所以还是来写点什么好了Ov O!

上个学期从复习完一遍黎曼几何(到 Jocabi Field 之前)开始,就拿了Chern的论文啃,中间还跑去找了次谢纳庆,到现在放假了才算看看理解了其后的几何框架。

Chern的论文只有短短四页,前两页还有introduction和对标价丛、球丛的最基本的介绍,顺势引出了Gauss-Bonnet定理的叙述. 而后两页画风一变,开始将Lipschitz-Killing形式\Omega =\frac{1}{2^{2p} \pi ^{p} p! } \Omega_{0} 拉回到标价丛上,并证明\Theta := \pi^{*} \Omega = d \Pi实际上是exact form,从而利用Stocks公式和Hopf指标定理证明了结论.

Chern在1944年第一次给出Gauss-Bonnet定理的内蕴证明,其中用到的标架从F(M)和 球丛B(M)的整体性质,可以说是把黎曼几何带入了“整体”的新纪元. 在Chern之前的证明,要么利用了大量的拓扑知识(示性类的函子性质,将问题化为2维),要么利用Nash定理或者类似的结论讲流形嵌入到高维的Euclid空间. Chern写出这篇论文的后一年,也就是1945年,他笔下的另一篇论文也涉及了Gauss-Bonnet定理。此外,Flander在1953年的综述“Development of …”对Chern证明的重新叙述,也是值得所有学几何学生一读的.

这篇blog会简单地利用局部正交向量、余向量场来重新介绍曲率算子,以及Gauss-Bonnet定理的argument. 然后在(M,g)上引入以M为底空间,以SO(n)为纤维型的纤维丛正交标架丛F(M)、切丛T(M)的子丛球丛S(M). 在介绍完丛的结构和各类投影、拉回后,简要地说明定理的证明思想. 而论文中令人惊奇的计算,则不过多涉及,留给读者自行验证.

黎曼几何语言复杂,我个人不太喜欢用向量场和内积的语言,而偏爱微分形式的这套. 如果熟悉微分形式的语言,相信对同学们学习黎曼几何的后续知识(各类比较定理、指标定理、Soul和Heaven等…)以及对应的代数拓扑(de Rham上同调、Chern-Weil form、示性类等…)都是有帮助的.

废话不多说,我们开始正题!


1.局部正交标架、曲率算子和Gauss-Bonnet定理

在黎曼流形(M,g)上locally取一组正交向量\{X_{i}\},对应一组正交 1-form \{\theta ^{i}\},联络系数由\Gamma_{ij}^{k} X_{k}= D_{X_{i}}X_{j}确定,其中D为g对应的Levi-Civita联络. 联络的两个要求,即平行移动保度量&无挠表现为:

(1)\Gamma_{ij}^{k} = - \Gamma_{ik}^{j},

(2)\Gamma_{ij}^{k} - \Gamma_{ji}^{k} = C_{ij}^{k},其中 C_{ij}^{k}X_{k}=[X_{i}, X_{j}] .

引入一次微分式\{\omega^i_j\},满足\omega^i_j(X_k)=\Gamma^i_{kj},于是联络可记成DX_i=X_k \otimes \omega^k_i,而性质(1)、(2)则变为

(1’)\omega^i_j=-\omega^j_i ,
(2’) d\theta ^i = - \omega^i_j \wedge \theta^i .
我们令联络形式\omega=[\omega^i_j]为第i行,第j列为\omega^i_j的矩阵,\theta = [\theta^1.\cdots,\theta^n]^{T}X={X_1,\cdots,X_n},则上述式子变为:
(3)DX=X\omega,其中 \omega是反对称矩阵,
(4)d\theta = - \omega \wedge \theta.
定义曲率形式\Omega=[\Omega^i_j]如下:

(5)\Omega = d\omega + \omega \wedge \omega,

然后计算得到:

(6)\Omega^i_j(X_k,X_l)=-R_{X_k X_l}X_j,其中
R_{X Y}=D_X D_Y -D_Y D_X -D_{[X,Y]}是曲率算子.
由(6)我们知道R_{X_k X_l}是切空间到自身的线性变换,其在\{X_i\}基下的表示矩阵为[-\Omega^i_j(X_k,X_l)]. 容易验证当基变换后,对应的曲率算子也相差一个合同变换.
现在我们可以开始讨论Gauss-Bonnet定理了,假设dim M=n=2p,考虑局部上有定义的n次微分形式

\Omega_{0}=\Sigma _{\sigma \in S_{n}} sign(\sigma) \Omega^{\sigma(1)}_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge \Omega^{\sigma(2p-1)}_{\sigma(2p)}

利用曲率算之间相差一个合同变换,容易算得\Omega_{0}是与坐标系选取无关的(留作习题,注意到正交向量场的基变换矩阵A \in SO(n),从而det(A)=1消掉了),因此是大范围的微分n形式,从而可以在流形上积分.

现在我们可以把Gauss-Bonnet定理叙述如下:

定理 M是紧致,可定向的2p维光滑黎曼流形,则

\int_{M}\frac{1}{2^{2p} \pi ^{p} p! } \Omega_{0} = \chi(M)

其中 \chi(M)是M的欧拉示性数.


2. 标架丛和其上的微分结构

考虑集合F(M)=\{(x;e_1,\cdots,e_n) : x \in M (e_1,\cdots,e_n)是在T_x(M)处与定向相符的标准正交基底\}. F(M)中的元素称为在流形M上一点x \in M的标架,从而F(M)是全体正定向标架的集合. 考虑自然投影\pi: F(M) \to M,则对每一点x的小邻域U,在\pi^-1(U)上可以局部的定义微分结构:
局部上我们可以固定一组正交标架 (x;e_1(x),\cdots, e_n(x)),x \in U,令
(7)\phi:U \times SO(n) \to \pi^{-1}(U),
(x,A) \mapsto (x;X_1,\cdots,X_n),
其中 (X_1,\cdots,X_n)=(e_1(x),\cdots, e_n(x)) A.
显然\phi是单、满的映射,从而局部上诱导了\pi^-1(U)上的微分结构,而容易验证这样的微分结构与x,U,(e_1,\cdots,e_n)的选取无关——因为M上的两个邻域U、V如果相交,那么M上微分结构的相容性自动诱导了F(M)上微分结构的相容性——从而给出了F(M)上的微分结构. 局部上,\pi^-1(U) \cong U \times SO(n),相当于在每一点“黏”上一个SO(n),实际上就是以M为底空间,以SO(n)为纤维型的纤维丛,称为M上与正交标架丛F(M). dim(F(M))=dim(M)+dim(SO(n))=n+\frac{n(n-1)}{2}.
作为主丛,结构群SO(n)在F(M)上有自然的右作用:\phi(x,A) \cdot B =\phi(x,A \cdot B),记为r_B,显然\pi \circ r_B = \pi.
我们把(x;e_1(x),\cdots, e_n(x))看成一个向量或者向量场X=(X_1,\cdots,X_n)\forall x \in M, X \in \pi^-1(x),切映射\pi_{*}:T_X(F(M)) \to T_x(M)诱导出F(M)切空间上两类不同的向量:

ker \pi_{*}恰好是纤维 \pi^-1(x)在X处的切空间,称为F(M)在X处的纵空间,其元素称为纵向量. 与之对应的 T_X \pi^-1(x)T_X F(M)内的补空间,称为横空间.

给定一个黎曼流形(M,g),黎曼几何基本定理告诉我们存在唯一的Levi-Civita联络,反之亦然. 而下面我们将利用M上的联络D来构造F(M)上(整体)的一次形式场,来构成余标架场. 从这个角度来说,F(M)有整体的坐标,因此比底流形M简单,所以把M上的微分n形式\Omega_0拉回到F(M)上看是“自然”的.

仍然固定一组正交标架 (x;e_1(x),\cdots, e_n(x)),x \in U,和其对偶的余标架固定一组正交标架 (x;\omega^1(x),\cdots, \omega^n(x)),x \in U,在\pi^-1(U)上局部定义n+\frac{n(n-1)}{2}个一次微分形式:

(8)在 X \in F(M)处,\theta^i = \sum_j X_i^j \pi^* \omega^j,

其中 [X_i^j] \in SO(n)满足 X=(e_1(x),\cdots, e_n(x))[X_i^j].

(9)\theta_i^j=\sum _l X^l_j(d X^l_i + \sum _h X_i^h \pi^* \omega^i_h),

其中 D e_i=e_j \otimes \omega_i^j是联络形式.

通过冗长的计算,就可以发现这些1-形式场也是不依赖于(x;e_1(x),\cdots, e_n(x)),x \in U选取的,即与主丛的局部平凡化无关,所以是整体的 (码字量太大,留作习题orz).

根据纵空间的定义可得,纵空间中的向量在\theta^i上取值为0,同理横空间中的向量在\theta_i^j上取值为0. 这同时也是充要条件.

(当然这里的\theta^i并不是第一章M的对偶余标架场了,第一章的部分我之所以用\theta^i是因为\omega已经被占用为联络形式了,没法弄成1-form的向量. 第二章开始余标架场变成\omega^i了,请大家注意符号的差异.)

容易看出\theta^i\theta^i_j满足我们熟悉的方程组:

(10)\theta^i_j+ \theta^j_i=0,

(11)d \theta^i = \theta^j \wedge \theta^i_j ,

这和(1′)、(2′)是一样的,事实上,这唯一确定了一组F(M)上的联络,也确定了其黎曼结构. 不过这不是我们关心的.

类似地,定义:

(12)\theta = [\theta^i_j][\Theta^i_j]=\Theta = d \theta - \theta \wedge \theta.

于是反对称矩阵\Theta中的元素是F(M)上大范围的微分2形式,这相比于M上依赖于坐标的的曲率形式\Omega要好得多了. 先令\Omega^l_k是M上在局部正交标架场(x;e_1(x),\cdots, e_n(x)),x \in U下的曲率形式,利用(9)和(12)式暴力计算,得到:

(13)\Theta^j_i = \sum _{k,l} X^k_i X^l_j \pi^* \Omega^l_k.

这样我们就可以把M上的Killing form拉回到F(M)上考虑了,令

(14)\Theta_{0}=\Sigma _{\sigma \in S_{n}} sign(\sigma) \Theta^{\sigma(1)}_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge \Theta^{\sigma(2p-1)}_{\sigma(2p)} ,则由(13)得到

(15)\Theta_0 = \pi^* \Omega_0

在Chern那篇1944年的论文中,最令人震惊的结果,无疑是

(16)存在\Pi是F(M)上的n-1形式,使得  \Theta := \frac{1}{2^{2p} \pi ^{p} p! }\Theta_0=d \Pi

在这篇Blog中,我们不会去详细构造\Pi,因为具体的构造和计算非常繁琐,长达2页,而论文中也把所有的计算讲清楚了. 接下来的论述中,我们会引入球丛S(M)的概念,详细解释如何利用\Pi和微分拓扑中的Poincare-Hopf指标定理,证明Gauss-Bonnet公式.


3. 球丛

 

考虑集合S(M)=\{(x,e): x \in M, e \in T_x M, \|e\|=1\},即流形M上所有单位切向量所组成的集合,称为流形M的球丛,这当然是切丛T(M)中的嵌入子流形. \pi_2为球丛的自然投影,那么局部上\pi_2^-1(U) \cong U \times \mathbb{S}^{n-1},其中U是坐标邻域. 再定义映射\pi_1:F(M) \to S(M)\pi_1((x;e_1, \cdots , e_n)) \mapsto (x,e_n)是到最后一个分量的投影,我们便有如下的交换图表:

QQ截图20180207121902

\pi_1诱导F(M)成为2n-1维流形S(M)上,以SO(n-1)为结构群的主丛,于是我们可以把\Theta再“降”到S(M)上:

(17)\Theta = \pi^* \Omega =\pi_1^* \circ \pi_2^* \Omega = \pi_1^* \Theta_1

其中 \Theta_1 =\pi_2^* \Omega是球丛S(M)上的n-form.

类似(16),在球丛上也有对应的n-1形式\Pi_1(本文不构造),使得

(18)\pi_1^* \Pi_1=\Pi,而 \pi_1满,从而 \pi_1^*单,于是,

(19)\Theta_1 = d \Pi_1.

继续把\Pi_1在局部坐标下表示出来,发现其正好在每一点x是其上纤维\pi_2^{-1}(x),也就是n-1维单位球面在n维欧式空间\mathbb{R}^n中的规范volumn form. 即是说\int_{\pi_2^{-1}(x)} \Pi_1 =1. 其中\pi_2^{-1}(x)是由T_x M中的外法向量e_n诱导的诱导定向.(*)

有了这些工具,我们可以着手证明我们的主结论了.


4.Gauss-Bonnet定理的证明

根据Poincare-Hopf指标定理的逆命题,在紧致,可定向的黎曼流形M上,可以构造这样的向量场X_0,使得其只有一个奇点x_0,那么在奇点处的指标就是M的欧拉示性数\chi(M).

M \backslash \{x_0\}上定义向量场:

(20)\xi: M \backslash \{x_0\} \to S(M)\xi =\frac{X_0}{\|X_0\|}.

那么把切向量场\xi视为S(M) \backslash \pi_2^{-1}(x_0)中的光滑截面,它与M \backslash \{x_0\}是微分同胚. 这样我们可以通过微分同胚将流形上的积分转移到向量场上:

(21)由于 id=id^*=(\pi_2 \circ \xi)^*,于是

(22)\Omega=(\pi_2 \circ \xi)^* \Omega =\xi^*(d \Pi_1).

B(\epsilon)x_0的球邻域,所以利用Stocks公式,积分就变为:

(23)\int_M \Omega = lim_{\epsilon \to 0} \int_{M \setminus B(\epsilon)} d(\xi^* \Pi_1) = - lim_{\epsilon \to 0} \int _{\xi(\partial B(\epsilon))} \Pi_1.

我们再将积分从\xi(\partial B(\epsilon))拉回到\pi_2^{-1}(x_0)处就可以计算了. 考虑映射\sigma: S(B(\epsilon)) \to \pi_2^{-1}(x_0)\sigma : (x,v) \mapsto (x_0, Pv),其中Pv是向量v沿着从x到x_0径向测地线的平行移动,其存在性,同微分几何中一样,是指数映照的局部微分同胚性所保证的.

\xi(\partial B(\epsilon))是球丛中的n-1维闭子流形,从而\sigma限制在\xi(\partial B(\epsilon))是打到\pi_2^{-1}(x_0)上的n-1维流形的映射,其映射度是整数,并且连续依赖于\epsilon. 考虑到\partial B(\epsilon)取使得Stocks公式成立的诱导定向,\pi_2^{-1}(x_0)取外法向的诱导定向,故当\epsilon \to 0时候,其映射度为- ind(\xi). 于是

(24)lim_{\epsilon \to 0} \int _{\xi(\partial B(\epsilon))}= -ind(\xi) \dot \int_{\pi_2^{-1}(x_0)}.

带入(23),利用(*)便可以计算得

\int_M \Omega = - lim_{\epsilon \to 0} \int _{\xi(\partial B(\epsilon))} \Pi_1 = ind(\xi) \dot \int_{\pi_2^{-1}(x_0)} \Pi_1 =ind(\xi)=\chi(M) .


reference:
[1]S.S.Chern,"A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds",
[2]S.S.Chern,微分几何讲义,
[3]H.Wu,黎曼几何选讲,
[4]S.Kobayashi,Foundations of DIfferential Geometry,
[5]V.Guillemin,Differential Topology.

 

Crystallographic groups 和 Bieberbach定理

1.等距变换群

在解析几何中,我们经常考虑\mathbb{R}^{2}或者\mathbb{R}^{3}的射影变换群和仿射变换群,以此得到平面图形和空间曲面的一些(代数)不变量,而今天我们所讲的是它的初级版本——\mathbb{R}^{n}的等距变换群E(n).

\mathbb{R}^{n}的等距作用全体,在复合作为乘法下构成一个群E(n). 而等距作用中最令人熟悉的,就是平移 t_{a}:x \mapsto x+a 构成的群\{t_{a}:a \in \mathbb{R}^{n}\}\cong \mathbb{R}^{n},和保范数变换群\{A \in E(n):\|x\|=\|Ax\|,\forall x\} \cong O(n),而后者是我们熟悉的拓扑群GL_{n}(\mathbb{R})的子群.

容易验证的一个事实是:E(n) \cong O(n) \times \mathbb{R}^{n},而这两个群的积空间正是GL_{n+1}(\mathbb{R})的子群,所以自然地,E(n)有从\mathbb{R}^{(n+1)^{2}}这一欧式空间诱导的拓扑,从而成为拓扑群.

称E(n)的子群\Gamma是discrete的,如果取子空间拓扑后\Gamma中的每一点都是其中开集. (利用度量空间中列紧等价于紧,可以证明E(n)中的离散子群都是闭的,从而和拓扑群中子群的要求无矛盾.)


2.Crystallographic groups

E(n)的子群\Gamma\mathbb{R}^{n}上有一个自然的作用,那么\mathbb{R}^{n}商掉轨道后得到\mathbb{R}^{n} / \sim_{\Gamma},其中x\sim x_{0} 等价于 \exists \gamma \in \Gamma s.t. x_{0}=\gamma (x) . 同时\Gamma作为子群(不一定是正规子群),诱导陪集E(n)/ \Gamma上的一个商空间拓扑. 这两个空间由下面的定理联系起来:

Prop.  E(n)/ \Gamma 是紧空间,等价于\mathbb{R}^{n} / \sim_{\Gamma}是紧空间.

只需考虑以下函数:E(n)/ \Gamma \rightarrow (E(n)/O(n))/ \Gamma=\mathbb{R}^{n} / \sim_{\Gamma},
g^{-1} \Gamma \mapsto \Gamma(g O(n))即可.

于是我们定义\Gamma是cocompact的,如果E(n)/ \Gamma compact,也即这个作用的fundamental domain是compact的.

考虑群作用的另一个好处是,很容易验证\Gamma是离散的,当且仅当这个作用的一根轨道在\mathbb{R}^{n}中是离散的,于是我们就就有了如下的一个“直观的”定义

称E(n)的一个子群\Gamma是Crystallographic group,如果它是discrete的,并且是cocompact的.


3.Bieberbach定理

首先看看Crystallographic group的等价定义:

E(n)的子群G=\{\alpha(x)=Ax+a\}称为Crystallographic group,如果:

(i)任取t>0,仅有有限个G中的元素\alpha,使得|a|<t,

(ii)存在常数d>0,使得任取x \in \mathbb{R}^{n},总存在一个\alpha \in G, s.t. |a-x|<d.

proof: ①若不离散,则在\mathbb{R}^{n}中的轨道有聚点x_{0},轨道的代表元为p,序列设为\alpha_{n},则任取t>0存在N,n>N时|\alpha_{n}(p)-x_{0}|<t,这些点作用一个\alpha_{n}^{-1}便得到矛盾,而离散显然能推出(i),从而等价.

②cocompact也很容易推出(ii),取d=2diam(\mathbb{R}^{n} / \sim_{\Gamma})即可 (总可以取一个连通的等价类). 利用\mathbb{R}^{n}中紧=有界闭,推出非紧\rightarrow无界即可推出(ii)不成立,从而(ii)与cocompact等价,所以定义等价.         ■

那么Bieberbach定理说的是下面这件事:

Theorem I. Crystallographic group \Gamma \in \mathbb{R}^{n}包含n个线性无关的平移,i.e. \Gamma \cap I \times \mathbb{R}^{n} 是n维自由Abel群.

这个定理原始的证明有Bieberbach给出,利用了(我完全看不懂的)Minkowski定理. 而后Frobenius利用酉矩阵的性质给了个(长达14页的)稍微好读一些的证明,并收入在许多教科书中(如我手中的这本Geometry of Crystallographic Group).

顺带一提的是Bieberbach第二定理,这个定理在本文中不打算证明,因为用到的估计实在是太烦了!!!

Theorem II. 对于固定的n,Crystallographic group仅有有限多个isomorphism classes.

本文介绍的方法,基于Peter Buser的论文 A Geometric Proof of Bieberbach’s Theorems on Crystallographic Groups,1985,其中两个定理的证明都有,读起来也不会太吃力. 我这里除了在前面补充了一些背景知识,后面做一些翻译和导读,并且补充一点证明细节外也没有做其他什么事情了,有能力的同学们可能直接读原文会收获更大嗯.

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